Пятое число — это 0. Естественно, этот ответ элементарен и является шуточным. Но отсюда возникает весьма сложный вопрос: существует ли пятое положительное число (отличное от 1, 3, 8 и 120), которое можно было бы добавить к этому множеству, не нарушая его свойства (произведение двух любых членов множества должно быть на 1 меньше, чем квадрат какого-либо целого числа)? Эта необычно сложная задача из области диофантовой математики восходит исторически к Ферма и Эйлеру. Об этом можно прочесть в книге Л.Э. Диксона History of Number Theory («История теории чисел»), т. 2, с. 517f. У этой задачи действительно богатая история, а окончательное разрешение она получила лишь в 1968 году. Один из студентов К. Баукампа из технологического университета г. Эйндховена в Нидерландах увидел эту задачу в журнале и рассказал о ней Баукампу. Тот, в свою очередь, показал её коллеге, Дж. X. Ван Линту. Ван Линт в 1968 году показал, что если 120 и может быть заменено другим положительным целым числом без нарушения свойства множества, то в нем должно быть более 1 700 000 разрядов. Затем Алан Бейкер из Кембриджа соединил результаты Ван Линта с одной из собственных сложных теорем и, наконец, разрешил проблему. В статье Бейкера и Д. Дэвенпорта во втором выпуске Quaterly Journal of Mathematics, т. 78, 1969, доказывается, что 120 не может быть заменено другим целым числом, и, следовательно, множество не может иметь пятого члена. Это доказательство весьма сложно и требует в том числе подсчета ряда чисел до 1040 знаков после запятой. Известно, что существует бесконечное число наборов из 4 положительных чисел с упомянутым свойством: 1, 3, 8 и 120 - это один из них, имеющий наименьшую сумму. В Journal of Recreational Mathematics, вып. 4, апрель 1971, в статье Андервуда Дадли и Дж. X. Хантера, посвященной этой проблеме, приводятся 20 других вариантов подобных множеств. В 3-м выпуске № 26 Quaterly Journal of Mathematics за 1975 год П. Канагасабапати и Т. Поннудурай в своей статье дают менее сложное доказательство не существования пятого члена множества 1, 3, 8, 120. Этой же задаче посвящена и статья А Problem of Fermat and the Fibonacci Sequence («Задача Ферма и последовательность Фибоначчи») В. Э. Хоггатта-мл. и Дж. Э. Бергама в журнале Fibonacci Quaterly, вып. 15, декабрь 1977. Существует ли на самом деле множество из пяти членов, которые были бы целыми числами и обладали желаемым качеством? Насколько известно мне, пока этого никто не выяснил.
−13
