Можно. В настоящий момент преподаю в одном из крупнейших ВУЗов нашего города, так что приходится доучивать в том числе и выпускников гимназий, лицеев и прочих элитных учебных заведений.
Повторюсь, корреляция между престижностью среднего образовательного учреждения и качеством выпускников ОЧЕНЬ МАЛА. Всё зависит от квалификации учителей, а они могут работать где угодно.
Кстати, учитель де‑факто высокой квалификации, как правило, либо предпенсионного, либо пенсионного возраста. И дело здесь не только в опыте. Просто в их время педВУЗы котировались куда как выше, чем сейчас. А бегать менять работу в таком возрасте уже почти никто не решается.
P.S. Не хотел никого обидеть, мы и сами не ради такой тенденции, но что есть то есть.